Giải tích Ví dụ

$y = 2 x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Step 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$2 x = 2 \sqrt{x}$

Giải $2 x = 2 \sqrt{x}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì căn thức nằm ở vế phải của phương trình, chuyển đổi các vế để nó ở vế trái của phương trình.

$2 \sqrt{x} = 2 x$

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Viết lại biểu thức.

$4 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Rút gọn.

$4 x = {(2 x)}^{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${(2 x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$4 x = 2^{2} x^{2}$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 x = 4 x^{2}$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $4 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Đưa $4 u$ ra ngoài $4 u - 4 u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4 u$ ra ngoài $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Đưa $4 u$ ra ngoài $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Đưa $4 u$ ra ngoài $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 x (1 - x) = 0$ đúng.

$x = 0, 1$

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

Rút gọn $2 \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \sqrt{0}$

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 2 \cdot 0$

Nhân $2$ với $0$ .

$y = 0$

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = 2 \sqrt{1}$

Rút gọn $2 \sqrt{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \sqrt{1}$

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$y = 2 \cdot 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$y = 2$

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 0)$

$(1, 2)$

Step 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} 2 x d x$

Step 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - (2 x) d x$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - 2 x d x$

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Nhân $2$ với $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Nhân $2$ với $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\frac{2}{3} + 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Cộng $\frac{2}{3}$ và $0$ .

$2 (\frac{2}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2}{2}$

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1}{1}$

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{4}{3} - 1$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{4 - 3}{3}$

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{3}$

Step 4