Giải tích Ví dụ

$4 x^{3} - 4 x$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$12 x^{2} = 4$

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 4$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 4$ cho $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 4

Tính $4 x^{3} - 4 x$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giá trị tại $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $\frac{\sqrt{3}}{3}$ bằng $x$ .

$4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$4 \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$4 \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Kết hợp $4$ và $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Để viết $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $3$ với $- 4$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{9}$

Trừ $12 \sqrt{3}$ khỏi $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{9}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Tính giá trị tại $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ bằng $x$ .

$4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$4 (- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$4 (- \frac{3 (\sqrt{3})}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Viết lại biểu thức.

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Nhân $4 (- \frac{\sqrt{3}}{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(4) \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Nhân $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Kết hợp $4$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Để viết $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{9}$

Cộng $- 4 \sqrt{3}$ và $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8 \sqrt{3}}{9})$

Step 5