Giải tích Ví dụ

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{3} - 8 = 0$

Giải $x^{3} - 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = 8$

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - 8 = 0$

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Giải $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ đúng.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Thay $2$ bằng $x$ .

$y = 0$

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Trừ $x^{3} - 8$ khỏi $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $3$ và tại $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Tính $8 x$ tại $3$ và tại $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Viết lại biểu thức.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Chia $20$ cho $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Nhân $8$ với $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Trừ $8$ khỏi $24$ .

$- 20 + 16$

Cộng $- 20$ và $16$ .

$- 4$

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Trừ $0$ khỏi $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ và $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ tại $3$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Để viết $- 24$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kết hợp $- 24$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 24$ với $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Trừ $96$ khỏi $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

Kết hợp $- 8$ và $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 8$ với $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Trừ $32$ khỏi $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Nhân $\frac{31}{4}$ với $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Cộng $- 15$ và $31$ .

$\frac{16}{4}$

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1}$

Chia $4$ cho $1$ .

$4$

Step 4