Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{t}}{2 t - 1}$

Step 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2 t - 1}]$

Step 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = 2 t - 1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 10

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 12

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 13

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 + 0)}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Step 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Nhân $t$ với $t^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $t$ với $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Viết lại $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Trừ $2 t^{\frac{1}{2}}$ khỏi $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $- 1$ ra ngoài $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Để viết $t^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Kết hợp $t^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Rút gọn $2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 1)}^{2}}$

Nhân $\frac{1}{{(2 t - 1)}^{2}}$ với $\frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 t + 1}{{(2 t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(2 t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 t + 1}{2 \cdot {(2 t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{2 t + 1}{2 {(2 t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 1)}^{2}}$