Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $12 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 0$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 0$ cho $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0$ cho $12$ .

$x^{2} = 0$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Step 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $0$ trong $f (x) = x^{4}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{4}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0$

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Tìm điểm bằng cách thay thế $0$ trong $f (x) = x^{4}$ là $(0, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0, 0)$

Step 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 0.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Nhân $12$ với $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

Câu trả lời cuối cùng là $0.12$ .

$0.12$

Tại $- 0.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.12$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, 0)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x) > 0$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0.1$ trong biểu thức.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Nhân $12$ với $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

Câu trả lời cuối cùng là $0.12$ .

$0.12$

Tại $0.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.12$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Step 7

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Đồ thị này không có điểm nào thỏa mãn các điều đó.

Không có điểm uốn