Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x - 1}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{y - 1}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{y - 1} = x$ .

$\sqrt{y - 1} = x$

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y - 1}$ ở dạng ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân các số mũ trong ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Viết lại biểu thức.

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

Rút gọn.

$y - 1 = x^{2}$

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x^{2} + 1$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Tính $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

Viết lại ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ ở dạng $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Tính $f (x^{2} + 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (x^{2} + 1) = x$

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$