Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 3 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

Cộng $3 x^{2} - 3$ và $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Cộng $6 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x$ .

$6 x$

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $6 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$6 x = 0$

Chia mỗi số hạng trong $6 x = 0$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $6 x = 0$ cho $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0$ cho $6$ .

$x = 0$

Step 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f'' (- 2) = 6 (- 2)$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $6$ với $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 12$

Câu trả lời cuối cùng là $- 12$ .

$- 12$

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, 0)$ vì $f'' (- 2)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ âm

Step 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f'' (2) = 6 (2)$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $6$ với $2$ .

$f'' (2) = 12$

Câu trả lời cuối cùng là $12$ .

$12$

Đồ thị lõm trong khoảng $(0, \infty)$ vì $f'' (2)$ dương.

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Step 6

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Step 7