Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$

Step 1

Viết $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1$

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + 0$

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 x - 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 2$

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $2$ cho $2$ .

$x = 1$

Step 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ trong $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{1}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 8 \cdot 1$

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 8$

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} - 8$

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8$

Viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Nhân $\frac{- 8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Nhân $\frac{- 8}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Nhân $- 8$ với $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3 - 24}{3}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f (1) = \frac{- 2 - 24}{3}$

Trừ $24$ khỏi $- 2$ .

$f (1) = \frac{- 26}{3}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (1) = - \frac{26}{3}$

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{26}{3}$ .

$- \frac{26}{3}$

Tìm điểm bằng cách thay thế $1$ trong $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 8 x$ là $(1, - \frac{26}{3})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(1, - \frac{26}{3})$

Step 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 1)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0.9$ trong biểu thức.

$f'' (0.9) = 2 (0.9) - 2$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $0.9$ .

$f'' (0.9) = 1.8 - 2$

Trừ $2$ khỏi $1.8$ .

$f'' (0.9) = - 0.2$

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.2$ .

$- 0.2$

Tại $0.9$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.2$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, 1)$

Giảm trên $(- \infty, 1)$ vì $f'' (x) < 0$

Step 7

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1.1$ trong biểu thức.

$f'' (1.1) = 2 (1.1) - 2$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $1.1$ .

$f'' (1.1) = 2.2 - 2$

Trừ $2$ khỏi $2.2$ .

$f'' (1.1) = 0.2$

Câu trả lời cuối cùng là $0.2$ .

$0.2$

Tại $1.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.2$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Step 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(1, - \frac{26}{3})$ .

$(1, - \frac{26}{3})$

Step 9