Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y^{2} - 1}$ ở dạng ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân các số mũ trong ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Viết lại biểu thức.

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

Rút gọn.

$y^{2} - 1 = x^{2}$

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{2} = x^{2} + 1$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ và $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ rồi so sánh.

Tìm miền giá trị của $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm tập xác định của $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} + 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + 1 \geq 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} \geq - 1$

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Nhấp để xem thêm các bước...

Phần hợp bao gồm tất cả các phần tử được chứa trong mỗi khoảng.

$(- \infty, \infty)$

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Không có hàm ngược

Step 5