Giải tích Ví dụ

$f (x, y) = \ln (x - y)$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - y$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x - y)$

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - y$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + 0)$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot 1$

Nhân $\frac{1}{x - y}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x - y}$ ở dạng ${(x - y)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{- 1})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - y)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - y$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + 0)$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$