Giải tích Ví dụ

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$