Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{7} 4^{n - 1}$

Step 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Step 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{4^{n + 1 - 1}}{4^{n - 1}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $4^{n + 1 - 1}$ và $4^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4^{n - 1}$ ra ngoài $4^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân với $1$ .

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1} \cdot 1}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1} \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{4^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Chia $4^{n + 0 - (n - 1)}$ cho $1$ .

$r = 4^{n + 0 - (n - 1)}$

Cộng $n$ và $0$ .

$r = 4^{n - (n - 1)}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 4^{n - n - - 1}$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = 4^{n - n + 1}$

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = 4^{0 + 1}$

Cộng $0$ và $1$ .

$r = 4^{1}$

Tính số mũ.

$r = 4$

Step 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ cho $n$ vào $4^{n - 1}$ .

$a = 4^{1 - 1}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = 4^{0}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 1$

Step 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$

Step 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$ với $1$ .

$\frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $4$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 16384}{1 - 1 \cdot 4}$

Nhân $- 1$ với $16384$ .

$\frac{1 - 16384}{1 - 1 \cdot 4}$

Trừ $16384$ khỏi $1$ .

$\frac{- 16383}{1 - 1 \cdot 4}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 16383}{1 - 4}$

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{- 16383}{- 3}$

Chia $- 16383$ cho $- 3$ .

$5461$