Giải tích Ví dụ

$\sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Nhân $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Cho tử bằng không.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$x = π$

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Viết lại biểu thức.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Nhân $2$ với $2$ .

$x = 4 π - π$

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = 3 π$

Tìm chu kỳ của $\cos (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Chu kỳ của hàm $\cos (\frac{x}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Step 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 4

Tính $\sin (\frac{x}{2})$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giá trị tại $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $π$ bằng $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$1$

Tính giá trị tại $x = 3 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $3 π$ bằng $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Liệt kê tất cả các điểm.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , cho mọi số nguyên $n$

Step 5