Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}}$

Step 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Step 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Step 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{3 x^{2}}$

Step 4

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}}$

Step 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 1 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Trừ $\sin (x)$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Step 6

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Step 7

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

Chia $- \cos (x)$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Step 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 9

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Step 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot - 1 \cos (0)$

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $- 1$ .

$\frac{- 1}{6} \cos (0)$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} \cos (0)$

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{6}$