Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin^{3} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin^{2} (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.4

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.5.2

Viết lại $- 1 \sin^{3} (x)$ ở dạng $- \sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Bước 2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Bước 2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Bước 2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot (\cos (x) \sin (x)) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Bước 2.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Bước 2.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Bước 2.13.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Bước 2.13.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Bước 2.13.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$