Giải tích Ví dụ

$y = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Trừ $2 e^{x} \sin (x)$ khỏi $- 2 \sin (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Trừ $2 e^{x} \sin (x)$ khỏi $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Cộng $- 2 e^{x} \cos (x)$ và $2 \cos (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Cộng $- 2 e^{x} \cos (x)$ và $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

Cộng $- 4 e^{x} \sin (x)$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$