Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \ln (x)$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Viết lại biểu thức.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$1 + \ln (x)$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Cộng $0$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 + \ln (x) = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x) \cdot 1$

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $1 + \ln (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (x) = - 1$

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Viết lại $\ln (x) = - 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{1}{e}$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{1}{e}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 e$

Nhân $e$ với $1$ .

$e$

Step 10

$x = \frac{1}{e}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{1}{e}$ là cực tiểu địa phương

Step 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{1}{e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{e}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{e}$ ở dạng $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Viết lại $\ln (1 e^{- 1})$ ở dạng $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- 1$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Step 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ là một cực tiểu địa phương

Step 13