Giải tích Ví dụ

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Viết lại biểu thức.

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 3$ với $1$ .

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 3 \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 \ln (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Trừ $\frac{3}{x}$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Nhân $6$ với $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 - 3 \ln (x)$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 \ln (x) = - 3$

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \ln (x) = - 3$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \ln (x) = - 3$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 3$ cho $- 3$ .

$\ln (x) = 1$

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Viết lại $\ln (x) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{1}$ .

$x = e$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = e$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = e$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{3}{e}$

Step 9

$x = e$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = e$ là cực đại địa phương

Step 10

Tìm giá trị y khi $x = e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $e$ trong biểu thức.

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e$

Trừ $3 e$ khỏi $6 e$ .

$f (e) = 3 e$

Câu trả lời cuối cùng là $3 e$ .

$y = 3 e$

Step 11

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ .

$(e, 3 e)$ là một cực đại địa phuơng

Step 12