Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{5} 2^{n - 2}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{2^{n + 1 - 2}}{2^{n - 2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{n + 1 - 2}$ và $2^{n - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2^{n - 2}$ ra ngoài $2^{n + 1 - 2}$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân với $1$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{2^{n - 1 - (n - 2)}}{1}$

Chia $2^{n - 1 - (n - 2)}$ cho $1$ .

$r = 2^{n - 1 - (n - 2)}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 2^{n - 1 - n - - 2}$

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$r = 2^{n - 1 - n + 2}$

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $n - 1 - n + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = 2^{0 - 1 + 2}$

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 2^{- 1 + 2}$

Cộng $- 1$ và $2$ .

$r = 2^{1}$

Tính số mũ.

$r = 2$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ cho $n$ vào $2^{n - 2}$ .

$a = 2^{1 - 2}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$a = 2^{- 1}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = \frac{1}{2}$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Nhân $- 1$ với $32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Trừ $32$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 1 \cdot 2}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 2}$

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{- 1}$

Chia $- 31$ cho $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 31$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $31$ .

$\frac{31}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{31}{2}$

Dạng thập phân:

$15.5$

Dạng hỗn số:

$15 \frac{1}{2}$