Giải tích Ví dụ

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

Viết $x^{2} \ln (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Chia $x$ cho $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \ln (x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \ln (x) = - 3$

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (x) = - 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (x) = - 3$ cho $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Viết lại $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ trong $f (x) = x^{2} \ln (x)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Nhân các số mũ trong ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Di chuyển $e^{\frac{3}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Khai triển $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ bằng cách di chuyển $- \frac{3}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Nhân $\frac{1}{e^{3}}$ với $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ trong $f (x) = x^{2} \ln (x)$ là $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0.12313016$ trong biểu thức.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $2 \ln (0.12313016)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

Nâng $0.12313016$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

Tại $0.12313016$ , đạo hàm bậc hai là $- 1.18902654$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ vì $f'' (x) < 0$

Step 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0.32313016$ trong biểu thức.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $2 \ln (0.32313016)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

Nâng $0.32313016$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

Tại $0.32313016$ , đạo hàm bậc hai là $0.74059987$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Step 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9