Giải tích Ví dụ

${(\tan^{-1} (8 x))}^{2}$

Step 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan^{-1} (8 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan^{-1} (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan^{-1} (8 x)$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Step 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan^{-1} (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan^{-1} (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Đạo hàm của $\tan^{-1} (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Step 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $8 (x)$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1)$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ với $1$ .

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{1 + 64 x^{2}}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{64 x^{2} + 1}$

Step 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{8}{64 x^{2} + 1}$ và $2$ .

$\frac{8 \cdot 2}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

Nhân $8$ với $2$ .

$\frac{16}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

Kết hợp $\frac{16}{64 x^{2} + 1}$ và $\tan^{-1} (8 x)$ .

$\frac{16 \tan^{-1} (8 x)}{64 x^{2} + 1}$