Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (3 x^{5})$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{5}$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{5}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 (5 x^{4}))$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $5$ với $3$ .

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$ .

$f' (x) = 15 x^{4} \cos (3 x^{5})$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{4} \cos (3 x^{5})$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (3 x^{5})]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (3 x^{5}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \cos (3 x^{5})$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{5}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{5}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} x^{5}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Nhân $5$ với $- 3$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5}) x^{4}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Nhân $x^{4}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x^{4}$ .

$f'' (x) = 15 (x^{4} x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 15 (x^{4 + 4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Cộng $4$ và $4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 15$ với $15$ .

$f'' (x) = - 225 (x^{8} (\sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

Nhân $4$ với $15$ .

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 \cos (3 x^{5}) x^{3}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

Step 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$ .

$- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$