Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

Viết lại $x \ln (x)$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Vì tử số là một hằng số và mẫu số tiến dần đến $0$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến vô cực.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Chia $x$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$0$