Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Nhân $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Cho tử bằng không.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (π - 0)$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = 2 π$

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Step 3

Tìm điểm bằng cách thay thế trong $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ là $(,)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(,)$

Step 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty,)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 0.1$ cho $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Tính $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 0.04997916$ cho $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Nhân $- 1$ với $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Câu trả lời cuối cùng là $0.01249479$ .

$0.01249479$

Tại $- 0.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.01249479$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty,)$ .

Tăng trên $(- \infty,)$ vì $f'' (x) > 0$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0.1$ trong biểu thức.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0.1$ cho $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Tính $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0.04997916$ cho $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Nhân $- 1$ với $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

Tại $0.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.01249479$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(, \infty)$

Giảm trên $(, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Step 7

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(,)$ .

$(,)$

Step 8