Giải tích Ví dụ

$\cos (x y) = 2 + \sin (y)$

Step 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 + \sin (y))$

Step 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Nhân $y$ với $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Step 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + \sin (y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Cộng $0$ và $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Step 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Step 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các thừa số trong $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Trừ $y' \cos (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Cộng $y \sin (x y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Viết lại $- 1 \cos (y)$ ở dạng $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ cho $- x \sin (x y) - \cos (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ cho $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ ở dạng $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Step 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$