Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Step 1

Viết $y = x^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Kết hợp $x^{- \frac{4}{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Step 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Step 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Step 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Viết lại biểu thức.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Rút gọn.

$27 x = 0^{3}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x = 0$

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0$ cho $27$ .

$x = 0$

Step 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Step 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Nhân $9$ với $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- \frac{2}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Step 11

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Step 12