Giải tích Ví dụ

$y = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 1

Viết $y = 180 x - 0.3 x^{3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $180 x - 0.3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Tính $\frac{d}{d x} [180 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $180$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $180 x$ đối với $x$ là $180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Nhân $180$ với $1$ .

$180 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

Tính $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 0.3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$180 - 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$180 - 0.3 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $- 0.3$ .

$180 - 0.9 x^{2}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 0.9 x^{2} + 180$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [180]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (180)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 0.9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 0.9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (180)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 0.9 (2 x) + \frac{d}{d x} (180)$

Nhân $2$ với $- 0.9$ .

$f'' (x) = - 1.8 x + \frac{d}{d x} (180)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $180$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $180$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 1.8 x + 0$

Cộng $- 1.8 x$ và $0$ .

$f'' (x) = - 1.8 x$

Step 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Step 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $180 x - 0.3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (180 x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Tính $\frac{d}{d x} [180 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $180$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $180 x$ đối với $x$ là $180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 180 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Nhân $180$ với $1$ .

$f' (x) = 180 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 0.3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 180 - 0.3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 180 - 0.3 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $- 0.3$ .

$f' (x) = 180 - 0.9 x^{2}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 0.9 x^{2} + 180$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 0.9 x^{2} + 180$ .

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 0.9 x^{2} + 180 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Trừ $180$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 0.9 x^{2} = - 180$

Chia mỗi số hạng trong $- 0.9 x^{2} = - 180$ cho $- 0.9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- 0.9 x^{2} = - 180$ cho $- 0.9$ .

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $- 0.9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 180}{- 0.9}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 180$ cho $- 0.9$ .

$x^{2} = 200$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{200}$

Rút gọn $\pm \sqrt{200}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $200$ ở dạng $10^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $100$ ra ngoài $200$ .

$x = \pm \sqrt{100 (2)}$

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm 10 \sqrt{2}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 10 \sqrt{2}$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 10 \sqrt{2}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 10 \sqrt{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 1.8 (10 \sqrt{2})$

Step 10

Nhân $- 1.8 (10 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $10$ với $- 1.8$ .

$- 18 \sqrt{2}$

Nhân $- 18$ với $\sqrt{2}$ .

$- 25.45584412$

Step 11

$x = 10 \sqrt{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 10 \sqrt{2}$ là cực đại địa phương

Step 12

Tìm giá trị y khi $x = 10 \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $10 \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (10 \sqrt{2}) = 180 (10 \sqrt{2}) - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $10$ với $180$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

Áp dụng quy tắc tích số cho $10 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (10^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 {\sqrt{2}}^{3})$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{3}})$

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{8})$

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{4 (2)})$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 (2 \sqrt{2}))$

Nhân $2$ với $1000$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (2000 \sqrt{2})$

Nhân $- 0.3 (2000 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2000$ với $- 0.3$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 600 \sqrt{2}$

Nhân $- 600$ với $\sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 848.52813742$

Trừ $848.52813742$ khỏi $1800 \sqrt{2}$ .

$f (10 \sqrt{2}) = 1697.05627484$

Câu trả lời cuối cùng là $1697.05627484$ .

$y = 1697.05627484$

Step 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 10 \sqrt{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$

Step 14

Nhân $- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 10$ với $- 1.8$ .

$18 \sqrt{2}$

Nhân $18$ với $\sqrt{2}$ .

$25.45584412$

Step 15

$x = - 10 \sqrt{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 10 \sqrt{2}$ là cực tiểu địa phương

Step 16

Tìm giá trị y khi $x = - 10 \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 10 \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (- 10 \sqrt{2}) = 180 (- 10 \sqrt{2}) - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 10$ với $180$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 10 \sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 ({(- 10)}^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 {\sqrt{2}}^{3})$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{3}})$

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{8})$

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{4 (2)})$

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 (2 \sqrt{2}))$

Nhân $2$ với $- 1000$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$

Nhân $- 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 2000$ với $- 0.3$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 600 \sqrt{2}$

Nhân $600$ với $\sqrt{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 848.52813742$

Cộng $- 1800 \sqrt{2}$ và $848.52813742$ .

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1697.05627484$

Câu trả lời cuối cùng là $- 1697.05627484$ .

$y = - 1697.05627484$

Step 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$ .

$(10 \sqrt{2}, 1697.05627484)$ là một cực đại địa phuơng

$(- 10 \sqrt{2}, - 1697.05627484)$ là một cực tiểu địa phương

Step 18