Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$

Bước 1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{4} - 24 x^{2} + 108}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$u^{2} - 24 u + 108 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 2.2

Phân tích $u^{2} - 24 u + 108$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $108$ và tổng của chúng là $- 24$ .

$- 18, - 6$

Bước 2.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 18) (u - 6) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 18 = 0$

$u - 6 = 0$

Bước 2.4

Đặt $u - 18$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $u - 18$ bằng với $0$ .

$u - 18 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $18$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 18$

Bước 2.5

Đặt $u - 6$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $u - 6$ bằng với $0$ .

$u - 6 = 0$

Bước 2.5.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 6$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 18) (u - 6) = 0$ đúng.

$u = 18, 6$

Bước 2.7

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 18$

${(x^{2})}^{1} = 6$

Bước 2.8

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = 18$

Bước 2.9

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Bước 2.9.2

Rút gọn $\pm \sqrt{18}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Viết lại $18$ ở dạng $3^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Bước 2.9.2.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Bước 2.9.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Bước 2.9.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3 \sqrt{2}$

Bước 2.9.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Bước 2.9.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Bước 2.10

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 6$

Bước 2.11

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = 6$

Bước 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Bước 2.11.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{6}$

Bước 2.11.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{6}$

Bước 2.11.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Bước 2.12

Đáp án cho $x^{4} - 24 x^{2} + 108 = 0$ là $x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Bước 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Bước 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - 3 \sqrt{2}) \cup (- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2}, \infty), {x | x \neq \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, - 1.39979505] \cup [- 0.04464939, \frac{1}{27}] \cup (1, \infty), {y | y \leq - 1.39979505, - 0.04464939 \leq y \leq \frac{1}{27}, y > 1}$

Bước 6