Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Nhân $2$ với $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Nhân $12$ với $1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Cộng $6 x^{2} - 18 x + 12$ và $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} - 18 x + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Nhân $2$ với $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 18 x$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Nhân $- 18$ với $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Cộng $12 x - 18$ và $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Nhân $3$ với $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Nhân $2$ với $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Nhân $12$ với $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Cộng $6 x^{2} - 18 x + 12$ và $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Đưa $6$ ra ngoài $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Đưa $6$ ra ngoài $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Phân tích $x^{2} - 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 2, - 1$

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 2, 1$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 2, 1$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 (2) - 18$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $12$ với $2$ .

$24 - 18$

Trừ $18$ khỏi $24$ .

$6$

Step 10

$x = 2$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Step 11

Tìm giá trị y khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với ${(2)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với ${(2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Cộng $1$ và $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (2) = 16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = 16 - 9 \cdot 4 + 12 (2) + 1$

Nhân $- 9$ với $4$ .

$f (2) = 16 - 36 + 12 (2) + 1$

Nhân $12$ với $2$ .

$f (2) = 16 - 36 + 24 + 1$

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $36$ khỏi $16$ .

$f (2) = - 20 + 24 + 1$

Cộng $- 20$ và $24$ .

$f (2) = 4 + 1$

Cộng $4$ và $1$ .

$f (2) = 5$

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$y = 5$

Step 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 (1) - 18$

Step 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $12$ với $1$ .

$12 - 18$

Trừ $18$ khỏi $12$ .

$- 6$

Step 14

$x = 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực đại địa phương

Step 15

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$f (1) = 2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 2 - 9 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Nhân $- 9$ với $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 (1) + 1$

Nhân $12$ với $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 + 1$

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $9$ khỏi $2$ .

$f (1) = - 7 + 12 + 1$

Cộng $- 7$ và $12$ .

$f (1) = 5 + 1$

Cộng $5$ và $1$ .

$f (1) = 6$

Câu trả lời cuối cùng là $6$ .

$y = 6$

Step 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ .

$(2, 5)$ là một cực tiểu địa phương

$(1, 6)$ là một cực đại địa phuơng

Step 17