Giải tích Ví dụ

$\sec (x)$

Step 1

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Step 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan^{2} (x)$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Nhân $\tan^{2} (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $\tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Nhân $\tan (x)$ với $\tan^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = \tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)$

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Cộng $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ và $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan^{3} (x)$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Nhân $\tan^{3} (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Nhân $\tan (x)$ với $\tan^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = \tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = {\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Cộng $1$ và $3$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Tính $\frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \sec^{3} (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x) \tan (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{3} (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x)))$

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x)))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Nhân $\sec^{3} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 ({\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Cộng $3$ và $2$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)))$

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))$

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan (x) \tan (x)))$

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan (x) \tan (x)))$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})$

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 5 (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $3$ với $5$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 15 (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Sắp xếp lại các thừa số của $3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 15 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$

Cộng $3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ và $15 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 18 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec^{5} (x)$