Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\ln (\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1})$

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1})$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\ln (\frac{0}{1 - 1 \cdot 1})$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (\frac{0}{1 - 1})$

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\ln (\frac{0}{0})$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\ln (\frac{0}{0})$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\ln (\frac{0}{0})$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\ln (\frac{0}{0})$

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]})$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0})$

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1})$

Chia $2 x$ cho $1$ .

$\ln (lim_{x \to 1} 2 x)$

Step 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\ln (2 lim_{x \to 1} x)$

Step 4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\ln (2 \cdot 1)$

Step 5

Nhân $2$ với $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2)$

Dạng thập phân:

$0.69314718 \dots$