Giải tích Ví dụ

$x^{\cos (2 x)}$

Step 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $x^{\cos (2 x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}]$

Khai triển $\ln (x^{\cos (2 x)})$ bằng cách di chuyển $\cos (2 x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (x)}]$

Step 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (2 x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (2 x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Step 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (2 x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 5

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Step 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

Nhân $- 2$ với $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Step 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Kết hợp $e^{\cos (2 x) \ln (x)}$ và $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) (- 2 \sin (2 x))$

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{\cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x}$