Giải tích Ví dụ

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \cdot \ln (x)} d x$

Step 1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2$ ra khỏi số mũ.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = 2$

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1 u_{upper} = 2$

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Step 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Step 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Step 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Step 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Chia $2$ cho $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2)$

Dạng thập phân:

$0.69314718 \dots$