Giải tích Ví dụ

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = \sec^{2} (9 t)$ .

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $\tan (9 t)$ .

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Kết hợp $t$ và $\frac{\tan (9 t)}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

Giả sử $u = 9 t$ . Sau đó $d u = 9 d t$ , nên $\frac{1}{9} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Hãy đặt $u = 9 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Vì $9$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $9 t$ đối với $t$ là $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Nhân $9$ với $1$ .

$9$

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

Kết hợp $\tan (u)$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

Nhân $9$ với $9$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

Tích phân của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

Viết lại $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ ở dạng $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 t$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$