Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} + 6 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Nhân $4$ với $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Đưa $6 x^{2}$ ra ngoài $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Đặt $2 x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $2 x + 3$ bằng với $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Giải $2 x + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 3$

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 3$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3}{2}$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ đúng.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - \frac{3}{2})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2.5$ trong biểu thức.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 2.5$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Nhân $12$ với $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Nâng $- 2.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

Nhân $18$ với $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

Cộng $- 187.5$ và $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

Câu trả lời cuối cùng là $- 75$ .

$- 75$

Tại $x = - 2.5$ đạo hàm là $- 75$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Giảm trên $(- \infty, - \frac{3}{2})$ vì $f' (x) < 0$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1.5, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.75$ trong biểu thức.

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 0.75$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Nhân $12$ với $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Nâng $- 0.75$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

Nhân $18$ với $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

Cộng $- 5.0625$ và $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

Câu trả lời cuối cùng là $5.0625$ .

$5.0625$

Tại $x = - 0.75$ đạo hàm là $5.0625$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 1.5, 0)$ .

Tăng trên $(- \frac{3}{2}, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Step 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Nhân $12$ với $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

Nhân $18$ với $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

Cộng $12$ và $18$ .

$f' (1) = 30$

Câu trả lời cuối cùng là $30$ .

$30$

Tại $x = 1$ đạo hàm là $30$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Step 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9