Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Di chuyển ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Step 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân các số mũ trong ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Viết lại biểu thức.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Rút gọn.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 1$

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{1 - x^{2}}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$1 - x^{2} < 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} < - 1$

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} < - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} < - 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | > \sqrt{1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| x | > 1$

Viết $| x | > 1$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x > 1$

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x > 1$

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Tìm phần giao của $x > 1$ và $x \geq 0$ .

$x > 1$

Chia mỗi số hạng trong $- x > 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- x > 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Chia $x$ cho $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x < - 1$

Tìm hợp của các đáp án.

$x < - 1$ hoặc $x > 1$

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Step 4

Tính $\sqrt{1 - x^{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $0$ bằng $x$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt{1 - 0}$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Cộng $1$ và $0$ .

$\sqrt{1}$

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$1$

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Cộng $1$ và $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\sqrt{0}$

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0$

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ bằng $x$ .

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\sqrt{0}$

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0$

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Step 5