Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Nhân $3$ với $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

Nhân $4$ với $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

Đưa $2$ ra ngoài $2 (6 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

Đưa $2$ ra ngoài $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

Chia mỗi số hạng trong $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Chia $6 x^{2} + x + 2$ cho $1$ .

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0$ cho $2$ .

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Thay các giá trị $a = 6$ , $b = 1$ , và $c = 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Nhân $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Nhân $- 24$ với $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Trừ $48$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $- 47$ ở dạng $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (47)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Nhân $2$ với $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Nhân $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Nhân $- 24$ với $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Trừ $48$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $- 47$ ở dạng $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (47)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Nhân $2$ với $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Nhân $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Nhân $- 24$ với $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Trừ $48$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $- 47$ ở dạng $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (47)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Nhân $2$ với $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào