Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Tính $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Cộng $e^{x} (2 x)$ và $2 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Cộng $2 x e^{x}$ và $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Đưa $x e^{x}$ ra ngoài $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x e^{x} (x + 2) = 0$ đúng.

$x = 0, - 2$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, - 2$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 0 + 2$

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 2$

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Step 10

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Step 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Nhân $0$ với $1$ .

$f (0) = 0$

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Step 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Step 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Cộng $- 4$ và $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Step 14

$x = - 2$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 2$ là cực đại địa phương

Step 15

Tìm giá trị y khi $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Step 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ là một cực đại địa phuơng

Step 17