Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Viết $y = x^{4} - 4 x^{3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 12 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x^{2}$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Nhân $2$ với $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Step 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Step 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Đưa $4 x^{2}$ ra ngoài $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4 x^{2}$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Đưa $4 x^{2}$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Đưa $4 x^{2}$ ra ngoài $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 x^{2} (x - 3) = 0$ đúng.

$x = 0, 3$

Step 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, 3$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Step 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

Nhân $12$ với $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

Nhân $- 24$ với $0$ .

$0 + 0$

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Step 11

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 12 x^{2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

Nhân $4$ với $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

Nhân $- 12$ với $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

Trừ $48$ khỏi $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

Câu trả lời cuối cùng là $- 80$ .

$- 80$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, 3)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 12 x^{2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Nhân $4$ với $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

Nhân $- 12$ với $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

Trừ $48$ khỏi $32$ .

$f' (2) = - 16$

Câu trả lời cuối cùng là $- 16$ .

$- 16$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(3, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 12 x^{2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

Nhân $4$ với $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

Nhân $- 12$ với $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

Trừ $432$ khỏi $864$ .

$f' (6) = 432$

Câu trả lời cuối cùng là $432$ .

$432$

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 3$ , nên $x = 3$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 3$ là cực tiểu địa phương

Step 12