Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 1}{12 x^{2} - 7}$

Step 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Step 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Chia $12$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{12 + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 12 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Tính giới hạn của $12$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Step 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - 7 \cdot 0}$

Step 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $4 \cdot 0 + 0$ và $12 - 7 \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $12$ ở dạng $- 1 (- 12)$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12) - 7 \cdot 0}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 7 \cdot 0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12) - (7 \cdot 0)}$

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 12) - (7 \cdot 0)$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12 + 7 \cdot 0)}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Đưa $12$ ra ngoài $4 \cdot 0$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0) + 0}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Đưa $12$ ra ngoài $0$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0) + 12 (0)}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Đưa $12$ ra ngoài $12 (4 \cdot 0) + 12 (0)$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $12$ ra ngoài $- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{12 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 7))}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{12 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 7))}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $0$ với $7$ .

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{0}{1}$

Chia $0$ cho $1$ .

$0$