Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3}$

Step 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Cộng $9$ và $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x^{2} + 16} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 16}$ ở dạng ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Cộng $2 x$ và $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Kết hợp $2$ và $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Kết hợp $\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Di chuyển ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Cộng $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 3} \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Viết lại ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x^{2} + 16}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} \cdot 1$

Nhân $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ với $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

Step 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16}}$

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16}}$

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Step 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2} + 16}}$

Step 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{9 + 16}}$

Cộng $9$ và $16$ .

$\frac{3}{\sqrt{25}}$

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{5^{2}}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3}{5}$

Step 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{5}$

Dạng thập phân:

$0.6$