Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin^{2} (x))}{x}$

Step 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin^{2} (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

Step 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

Step 3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sin (2 \cdot 0)$

Step 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $0$ .

$\sin (0)$

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0$