Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x}$

Step 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0}$

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

Chia $2 \cos (2 x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Step 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Step 3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0)$

Step 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $0$ .

$2 \cos (0)$

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$2$