Giải tích Ví dụ

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Kết hợp $\sec^{4} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Viết lại ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

Giả sử $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Hãy đặt $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\tan^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (2 x)$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Kết hợp.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\tan^{3} (2 x)$ với $1$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$