Giải tích Ví dụ

$\ln (x) \cdot \ln (10 x)$

Step 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \ln (10 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{10 x}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $10$ và $\frac{\ln (x)}{10 x}$ .

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Nhân $\frac{\ln (x)}{x}$ với $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{1}{x}$

Step 5

Kết hợp $\ln (10 x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (10 x)}{x}$

Step 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (x) + \ln (10 x)}{x}$

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (10 x))}{x}$

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\ln (10 x \cdot x)}{x}$

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x$ .

$\frac{\ln (10 (x \cdot x))}{x}$

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\ln (10 x^{2})}{x}$