Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{\cos (x)}}$

Step 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\cos (x)}$ ở dạng ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Step 2

Quy đổi từ $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ sang ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Step 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Di chuyển ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Step 9

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (x) \tan (x))$

Step 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\sec (x)$ và $\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \tan (x)$

Kết hợp $\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Di chuyển ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Step 11

Nhân $\sec (x)$ với ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (x) \tan (x)}{2}$

Nhân ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ với $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (x) \tan (x)}{2}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + 1} \tan (x)}{2}$

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \tan (x)}{2}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}} \tan (x)}{2}$

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \tan (x)}{2}$