Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 72 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 72$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 72 x^{2}$ đối với $x$ là $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Nhân $2$ với $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3} - 144 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $x + 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x + 6$ bằng với $0$ .

$x + 6 = 0$

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 6$

Đặt $x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 6$ bằng với $0$ .

$x - 6 = 0$

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ đúng.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 6)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 7$ trong biểu thức.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Nhân $4$ với $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Nhân $- 144$ với $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Cộng $- 1372$ và $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

Câu trả lời cuối cùng là $- 364$ .

$- 364$

Tại $x = - 7$ đạo hàm là $- 364$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 6)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 6)$ vì $f' (x) < 0$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 6, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Nhân $4$ với $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Nhân $- 144$ với $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Cộng $- 108$ và $432$ .

$f' (- 3) = 324$

Câu trả lời cuối cùng là $324$ .

$324$

Tại $x = - 3$ đạo hàm là $324$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 6, 0)$ .

Tăng trên $(- 6, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Step 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 6)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Nhân $4$ với $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Nhân $- 144$ với $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Trừ $432$ khỏi $108$ .

$f' (3) = - 324$

Câu trả lời cuối cùng là $- 324$ .

$- 324$

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- 324$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 6)$ .

Giảm trên $(0, 6)$ vì $f' (x) < 0$

Step 8

Thay một giá trị từ khoảng $(6, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Nhân $4$ với $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Nhân $- 144$ với $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Trừ $1008$ khỏi $1372$ .

$f' (7) = 364$

Câu trả lời cuối cùng là $364$ .

$364$

Tại $x = 7$ đạo hàm là $364$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(6, \infty)$ .

Tăng trên $(6, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Step 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10