Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

Nhân $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

Trừ $4$ khỏi $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

Kết hợp $x^{- \frac{7}{4}}$ và $\frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $4$ với $4$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{16}$

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{7}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

Di chuyển $x^{- \frac{7}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$

Step 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- \frac{3}{16}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{4} \cdot - 1}$

Nhân $\frac{7}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{7}{4}$ và $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{4}}$

Nhân $7$ với $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{4}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{4}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{7}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1})$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 4}{4}})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 4}{4}})$

Trừ $4$ khỏi $- 7$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 11}{4}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{11}{4}})$

Kết hợp $x^{- \frac{11}{4}}$ và $\frac{7}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4})$

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{3}{16}) \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

Nhân $\frac{3}{16}$ với $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{16} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

Nhân $\frac{3}{16}$ với $\frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3 (x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7)}{16 \cdot 4}$

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $7$ với $3$ .

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{16 \cdot 4}$

Nhân $16$ với $4$ .

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{64}$

Di chuyển $x^{- \frac{11}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{21}{64}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$ đối với $x$ là $\frac{21}{64} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}})$

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1})$

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11}{4} \cdot - 1})$

Nhân $\frac{11}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{11}{4}$ và $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11 \cdot - 1}{4}})$

Nhân $11$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 11}{4}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{11}{4}})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{11}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1})$

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 4}{4}})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 4}{4}})$

Trừ $4$ khỏi $- 11$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 15}{4}})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{15}{4}})$

Kết hợp $x^{- \frac{15}{4}}$ và $\frac{11}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4})$

Nhân $\frac{21}{64}$ với $\frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21 (x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11)}{64 \cdot 4}$

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $11$ với $21$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{64 \cdot 4}$

Nhân $64$ với $4$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{256}$

Di chuyển $x^{- \frac{15}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

Step 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$ .

$- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$