Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kết hợp $\frac{5}{5}$ và $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Chia $- 1$ cho $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Nhân $- 5$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kết hợp $\frac{5}{5}$ và $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Chia $- 1$ cho $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{4} - 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{4} = 1$

Lấy căn bậc 4 của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1, - 1$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \cdot 1$

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Step 11

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Nhân $- 5$ với $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \cdot - 1$

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 1$ là cực đại địa phương

Step 15

Tìm giá trị y khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Cộng $- 1$ và $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ là một cực tiểu địa phương

$(- 1, \frac{4}{5})$ là một cực đại địa phuơng

Step 17