Giải tích Ví dụ

$\int x \cdot \arctan (x) d x$

Step 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (x)$ và $d v = x$ .

$\arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Step 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Kết hợp $\arctan (x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Step 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 4

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Step 5

Chia $x^{2}$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Step 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Step 10

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Step 11

Rút gọn.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Step 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$